SWAP:深入分析 Uniswap V3 流動性供應的數學原理_UnityVentures

前言

Uniswap是DeFi領域的頭部去中心化交易所，其在今年5月上線了V3版本協議。V3版本與之前V2版本相比存在諸多差異，如集中流動性、多個費用等級、新的預言機等等。

在這些多樣的特點背后，究竟藏著怎樣的數學奧秘，同時是否真的能為用戶帶來更大的收益，減少無常損失？

知道創宇區塊鏈安全實驗室?將帶你從數學原理角度在UniswapV3集中流動性方面進行剖析。

何謂集中流動性

在UniswapV3中，流動性提供者可以將其提供的流動性"限制"在任意的價格區間內來集中其流動性。

為了解釋這一概念，首先我們關聯到UniswapV2的自動做市商曲線。在該曲線中，用戶的流動性被均勻的分布在整個(0,正無窮大)之中。

圖1

在V2版本中，由于許多池子的價格變動沒有那么的頻繁，比如UDST/DAI池子中。由于其價值均錨定美元，發生的交易將會聚集在上圖中的A點附近，這就意味著流動性池中的大部分資產是永遠不會被觸及到的。

因此在V3中，用戶可以將其流動性聚集在某一個線段。如下圖B到C點：

順網科技與中數鏈簽訂合作協議：將在元宇宙等方面開展深入合作:7金色財經報道，日前，順網科技與中數鏈（上海）簽訂框架合作協議，公司旗下元宇宙瞬元智能鏈、Meta CJ將與對方展開包含資本性合作在內的全面深入合作。中數鏈是國版鏈的超級節點運營機構，是一家整合了專業的區塊鏈、web3.0應用技術，鏈接了豐富的文化數字化上下游生態資源的元宇宙技術及應用解決方案的機構。當下，順網科技則在不斷完善元宇宙算力基礎設施+應用層生態建設。[2022/7/23 2:33:07]

圖2

這樣，由于大量用戶的流動性被集中，對于B點到C點的線段的流動性將會變得非常"厚"，這樣的池子將使得來交易的人交易滑點得以顯著減小，并有效提高資本效率。

如何將流動性集中

在具體實現的過程中，V3依靠了資產的杠桿。將一部分用戶資產虛擬出來，導致了坐標軸圖像的平移，虛擬資產假設對應x'和y'。

在原始的UniswapV2中，曲線公式為：x*y=k

UniswapV3通過引入x'和y'資產升級了該公式。此處x'我們將其稱為x資產的虛擬儲備，y'稱為y資產的虛擬儲備，于是引入了如下式子：

美國國會眾議員提出法案以深入研究商業中的區塊鏈技術:三名美國國會眾議院議員（兩名民主黨和一名共和黨）正式提出了一項新法案，以促使美國國會對區塊鏈技術進行更深入的分析。9月1日，民主黨眾議員Darren Soto、Doris Matsui及共和黨眾議員Brett Guthrie向眾議院提出了一項新法案，該法案隨后被提交給能源和商業委員會。該法案建議美國商務部長在與聯邦貿易委員會(FTC)磋商后“就區塊鏈技術的狀況以及在保護消費者和其他方面的使用情況進行研究并向國會提交報告”。（Cointelegraph）[2020/9/4]

由于為資產添加了杠桿，使下圖中原本在下面的曲線，能夠平移到上面儲備量更大的曲線中去，這也意味著在有限的的價格范圍內，一組較小的儲備x、y能夠充當更大的儲備x+x'、y+y'。

同時，上方為虛擬資產被添加后的虛擬AMM曲線。在實際交易曲線中，下方才是流動性提供者資產的真實變化曲線。

于是，在B點或C點時，處于強勢的資產將被損耗為0，也就是說將會全部兌換成劣勢資產并停止做市。

如下圖3：

圖3上方為虛擬平移的AMM曲線

聲音 | 華軟資本董事長：負利率是否會影響未來數字貨幣信用或可計算交易體系值得深入探索:12月18日，華軟資本董事長、華夏新供給經濟學研究院院長在第一財經發布評論文章。文章表示，負利率對下一階段的貨幣形態發展帶來新的不確定性，也許為“另辟蹊徑”提供某些啟發。隨著信息技術和互聯網的發展，貨幣及其價值傳遞方式出現了根本性的轉變，以信用卡、網銀和移動支付為代表的電子貨幣，以及數字貨幣、區塊鏈和加密資產等都在快速發展。特別是以Facebook籌備計劃推出Libra(天秤座)為代表，其目標是發展成為一種“不企求對美元匯率穩定而追求實際購買力穩定”的加密數字貨幣，這對未來數字貨幣的重要性、演化形態和利率價格等引發了全球關注。與此同時，中國央行主導的主權數字貨幣DCEP已有實質進展，歐洲央行也開始考慮發行公共數字貨幣的多種方案。數字化相當程度上加速了全球資金流動，可以部分解釋利率下行原因，但負利率是否會影響未來數字貨幣的信用或可計算交易體系，更值得深入探索的。[2019/12/19]

根據V2的自動做市曲線方程。讓L被定義為k=L^2，于是有該式：x*y=k=L^2

對其開根號，即有

而對于價格來說，當前的價格P(用y對x資產定價)有：

根據式3，對其取平方根，即有：

聯立式4與式2，我們可以消去y，對于閉區間任一點，則有：

聲音 | 陳思劼：區塊鏈等技術不斷深入應用，推動產業發生深刻變革:12月13日下午，第一財經2019杰出商界領軍者高峰論壇在上海舉行。上海第一財經傳媒有限公司總經理陳思劼在會上致辭。陳思劼表示：新一輪的科技革命正在悄然到來，眾多產業被新科技激發活力，比如人工智能、大數據、區塊鏈和云計算等技術，在行業不斷深入應用，推動產業發生深刻變革。新技術的發展在新經濟時代勢不可擋，企業的創新升級勢在必行。[2019/12/13]

同理可消去y，對于任一點，則有：

于是，我們只要知道P(x的價格)，在流動性沒有改變時(L不改變)，則可以得到對應的x資產量和y資產量。

計算虛擬資產(x'/y')

圖4虛擬資產x'與y'

考慮極端情況，在上圖中，經過平移后上方的AMM圖形由于在B點時，用戶提供的x資產由于在實際中已全部損耗。

也就是說x=0，剩余的x均為虛擬出來的，即x'。

根據式5去計算。此時計算x資產量對于B點有：

同理，我們計算C點，此時用戶提供的y資產由于在實際中已全部損耗，即有y=0，剩余的y均為虛擬出來的，即y'。則有

聲音 | 香港金融發展局董事：香港金融服務的質量將隨著區塊鏈等應用的深入進一步提升:據新華網報道，中共中央、國務院日前印發了《粵港澳大灣區發展規劃綱要》，大灣區共同家園投資有限公司總裁、香港金融發展局董事胡章宏表示，伴隨新的政策出臺，大灣區建設國際科技創新中心，香港打造一系列新的中心、平臺以及發展特色金融等目標的推進，香港金融體系的結構將愈發豐富。隨著區塊鏈等科技應用的深入以及金融科技等新業態的不斷培育，香港金融服務的質量和效率也將進一步提升。[2019/2/21]

由上可知，xb?與?yc?則是Uniswap為用戶虛擬出來的Token量，即x'與y'，這也是Uniswap中為用戶開的杠桿的Token數量。

于是，我們得到完整UniswapV3的AMM曲線，見式9：

同時，對于選定的區間中的任意一點，由用戶提供的真實的資產見下圖：

注：下圖摘自UniswapV3白皮書，區間為，任意一點被選擇為c

圖5用戶提供的真實資產與虛擬儲備AMM曲線

隱患-無常損失

由于V3在用戶的選擇下將流動性使用添加杠桿的方式進行了集中，而對于流動性提供者來說本質上是在與用戶做對手盤，即越跌越買，越高越賣，這將導致無常損失的加劇。

根據上述分析，只要價格達到設定的區間臨界點，流動性提供者的代幣將會完全轉換為另一種處于劣勢的代幣，并且在價格重新進入該臨界點之前不會賺取交易費用。

世上沒有什么免費的午餐。風險越高，收益越高。你提供的流動性越集中，你獲得的手續費收入就越高，同時也將承擔更多的無常損失。——Uniswap創始人，HaydenAdams

UniswapV3--添加流動性

具體而言，假設現有一UniswapV3交易池，交易對ETH/DAI，池中X與Y儲備比例10:800，L2為8000，P為80即交易價格80DAI/ETH。

當前價格對應點A(10,800)，若一流動性提供商，嘗試在P=進行做市。對應的點B(5,1600)，P=320。點C(20,400)，P=20

該流動性提供商想投入3個ETH，這3個ETH會被全部用于xreal，由于當前價格在選定區間內。

根據白皮書，有以下式子：

由式10，投入△x=3，投入的ETH將改變池子的L。經過計算△L為：

再通過△L計算△y:

于是投入3個ETH,時，計算投入的DAI應為240個。新的L'約為143.11(僅限于在閉區間P=)。

UniswapV3--Swap

對于該UniswapV3池子,若ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者在該DEX中用DAI兌換ETH來套利，為了將其達到與外部平衡，將有P=80==>P'=100，根據白皮書，Swap計算價格變化如下：

將根號后的起始價格P和結束價格P'帶入，可以計算得到△y≈151.09，而△x≈1.689。

若Swap的資產假設該流動性提供者按照L比例劃分了37.5%，于是該流動性提供者分攤x≈0.6334，y≈56.66

于是我們得出如下表格：

我們將其百分比化：IL_V3=(540-533.31)/540≈1.239%

集中流動性放大了資產L的占比，提高資產效率的同時承擔了更多的無常損失。當然，這只是選擇做市區間比較小，同時分攤比例較大的情況，現實會有許多人根據投入的L占比大小來分攤這筆swap。并且該筆swap由于本身比較大，幾乎占了總資產的21.113%，進而顯得無常損失的百分比很大，這也印證了盲目做市所帶來的虧損。另外，價格波動對其也存在影響，只上漲到P=85時IL_V3約為0.58%。

UniswapV2--添加流動性

而對于UniswapV2，假設原池中的資產量為10個ETH和800個DAI，即P為80DAI/ETH。

流動性提供者投入了3ETH和240DAI，此時則存在13個ETH與1040個DAI，價格仍為80DAI/ETH，比重占23.077%，新的K為13520。

UniswapV2--Swap

當ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者用DAI兌換ETH來套利。

設共用△y個DAI兌換△x個ETH后，AMM池中ETH:DAI價格達到與外部平衡的1:100

不考慮手續費等因素，則有：

解得dx≈1.3724,dy≈122.76，即套利者給了122.76個DAI，換走了1.3724個ETH。池子-1.3724個ETH，+122.76個DAI

這將在所有比重中分擔，于是提供者分擔23.077%，即失去0.3167個ETH，換取28.33個DAI，我們得出如下表格：

IL_V2=(540-536.66)/540≈0.6185%

具體將會取決于在V3做市區間，越小則杠桿越多，x'和y'越大，同時無常損失和手續費收益也會越多。

當然，用戶也可以如V2一樣將流動性分攤到整個曲線中去而不是某個線段，即在0到正無窮進行做市：

后記

由于篇幅原因，本篇僅就集中流動性進行了討論。UniswapV3創新了很多的新功能，其復雜程度相較于V2增加了非常多。

無可否認，UniswapV3的創新使得UniswapV2被加強，用戶可以選擇將其流動性集中在任何一個區間以獲得更多的手續費。

但與此同時這也將導致更多的無常損失和更大的資金轉換為劣勢資產速度，而這也產生了許多新特性如限價單swap等功能。

因此，在選擇做LP之前，需要認真思考自己的需求，切忌盲目做市。

參考

UniswapV3白皮書

UniswapV3新特性解析

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