PUL:數字貨幣期貨合約的相關性測度_usdt幣圈搭建

派客國際投資有限公司蘇文杰

摘要：本文以BitMEX交易所的數字貨幣期貨合約的收盤價數據為基礎，計算了永續合約XBTUSD和ETHUSD的收盤價的各相關系數，并利用Copula函數著重對兩者的肯德爾和斯皮爾曼秩相關系數進行了估計。由Copula函數導出的秩相關系數有許多優點，比線性相關性更具優勢，這為構建量化交易策略提供了可靠的依據。

各數字貨幣價格的相關關系是許多量化交易策略設計的基礎。相關關系的計算大多使用收益率數據或收盤價數據，本文將以BitMEX交易所的永續合約XBTUSD和ETHUSD的收盤價數據為基礎進行一些討論。

一、相關系數

相關系數簡介

統計學中主要有三種相關系數，分別是皮爾遜(Pearson)相關系數，肯德爾(Kendall)秩相關系數和斯皮爾曼(Spearman)秩相關系數。

1、皮爾遜(Pearson)相關系數

2、肯德爾(Kendall)秩相關系數

3、斯皮爾曼(Spearman)秩相關系數

采用皮爾遜相關系數來考察永續合約XBTUSD和ETHUSD的相關程度

鮑威爾：在探索央行數字貨幣方面做了大量工作:6月23日消息，美聯儲主席鮑威爾表示，我們在探索央行數字貨幣方面做了大量工作。我們應該以國家的名義來探索這個問題，我們計劃在未來幾年就央行數字貨幣進行政策和技術方面的工作，并向國會提出建議。他還提到，民眾飽受高通脹困擾。事后看來，美聯儲低估了通脹。美聯儲的意圖是實現軟著陸。美聯儲對抗通脹的承諾是無條件的。[2022/6/24 1:28:01]

1、基于周期為1分鐘的收盤價

以下用UTC時間2019年5月5日上午6：39所獲取的最近的750個BitMEX交易所的每分鐘收盤價來計算永續合約XBTUSD和ETHUSD的皮爾遜相關系數，其散點圖如下圖所示：

圖1

在圖1中，可見XBTUSD和ETHUSD永續合約的收盤價具有較強的正相關關系，其相關系數的值為0.877.

2、基于各周期的收盤價

對于各周期的收盤價而計算的各皮爾遜相關系數如下表所示。由此表可知，XBTUSD和ETHUSD永續合約的收盤價在不同周期中均具有較強的正相關關系。

鑒于我們的量化策略沒有在低頻領域中實施，故比較關心的是基于分鐘級別的收盤價所展現出來的相關關系。

數字認證：公司一直積極跟進數字貨幣相關技術的發展:金色財經報道，針對有投資者向數字認證提問，“隨著數字人民幣應用的廣泛場景和越來越多的用戶體驗，請問目前為止公司是否有合作？在網絡安全、用戶識別、密碼云等方面是否有參與機會？”數字認證表示，公司是領先的網絡安全解決方案提供商，面向全國客戶提供電子認證服務、網絡安全產品、網絡安全集成、網絡安全服務。數字貨幣的應用將會為密碼行業發展帶來市場機會，公司一直積極跟進相關技術的發展，對數字貨幣相關的一些密碼技術進行研究。（同花順金融研究中心）[2021/9/9 23:12:19]

采用肯德爾秩相關系數和斯皮爾曼秩相關系數

同樣在UTC時間2019年5月5日上午6：39，根據最近的750個每分鐘收盤價計算出永續合約XBTUSD和ETHUSD的肯德爾秩相關系數為0.6199，斯皮爾曼秩相關系數為0.7788。

二、基于Copula函數的相關性測度

Copula函數簡介

Copula理論和方法的應用已經在國內金融、保險等領域廣泛展開，使得刻畫更為復雜的多變量聯合分布成為可能。

Copula函數的分類-

行情 | 數字貨幣早班車:截至8時05分，BTC全球均價 8996.34 美元，24小時漲幅 2.41 %；EOS全球均價 6.99 美元，24小時漲幅 1.90 %；ETH全球均價 268.99 美元，24小時漲幅 0.69 %。市值排名前百幣種中，24小時漲幅榜前五的是：FSN 24小時漲幅 19.69 %、STRAT 24小時漲幅 15.96 %、KNC 24小時漲幅 14.24 %、BTM 24小時漲幅 12.45 %、BCN 24小時漲幅 9.12 %。據統計，全球數字貨幣已超過 2800 種，TOP100總市值為 2,816.54億美元。[2019/6/17]

EricZivot和JiahuiWang(2006)認為金融相關性分析中常用的Copula函數主要有四大類：橢圓Copulas、阿基米德Copulas、極值Copulas。

其中橢圓和阿基米德Copulas是按Copula函數所屬性質進行劃分。橢圓Copula可以由橢圓分布得到，很容易從二元情形推廣到多元情形。各個阿基米德族Copula可以由相應的生成元函數得到，并且當生成元函數滿足一定條件時，可以得到多元阿基米德Copula。極值Copula函數根據相依函數的產生不同而不同。

聲音 | 歐盟委員會副主席：歐盟將重點關注數字貨幣資產分類和監管計劃:據cointelegraph報道，歐盟委員會副主席Valdis Dombrovskis最近表示，歐盟（EU）將重點關注數字貨幣資產分類和監管計劃。根據Dombrovskis的說法，盡管最近出現了動蕩，但數字貨幣資產仍然存在 ，數字貨幣市場仍繼續增長。[2018/9/11]

下文僅簡要介紹橢圓Copula函數族和阿基米德Copula函數族。

1、橢圓Copulas函數族

橢圓Copulas函數可以由橢圓分布得到，且秉承了橢圓分布函數的優良性質，因而是研究金融市場相依結構的基本模型。橢圓Copulas函數的兩個主要成員是正態Copula函數和t-Copula函數。

橢圓Copulas函數的優點是可以構造不同相依程度的邊緣分布的Copula函數，由于其分布性質簡單，且模擬較易實現，廣泛應用于金融領域。其缺點是其分布函數沒有封閉的表達形式且都是徑向對稱的，由于存在對稱的尾部相關性，故無法捕捉到金融市場之間非對稱的相關關系。

它們在中心區域的差別并不大，差別主要體現在其尾部的厚度。

通常情況下，正態Copula函數可以較好地擬合數據。在其分布的尾部，任意兩個隨機變量是漸近獨立的，而當極值事件發生時，金融市場間尾部相關性往往都會增強，此時如果用正態Copula函數進行投資組合的相關計算常常會低估風險。

24小時數字貨幣行情梳理:根據Bitfinex交易平臺數據顯示，

BTC最新成交價格40990.4元，最高價達43269.07元，最低價格40772.77元，成交量3.81萬，跌幅5.17%；

ETH最新成交價格2970.72元，最高價達3358.92元，最低價格2950.74元，成交量32.46萬，跌幅11.5%；

BCH最新成交價格5331.5元，最高價達5868.59元，最低價格5300.2元，成交量5.72萬，跌幅8.89%。[2018/6/14]

相比于正態Copula函數，t-Copula函數能捕捉到序列間的尾部相關性，對極端情形的描述能力更強。t-Copula函數的自由度參數越大，其尾部越薄，當其自由度超過30時，其尾部相依形狀非常接近于正態Copula函數。

2、阿基米德Copulas函數族。

阿基米德Copulas函數族是非常重要的一類Copula函數，其較橢圓Copula函數的便利之處在于可將多元變量之間復雜的相依結構轉換為一個相對簡單的生成函數，或稱為阿基米德Copulas函數的生成元，它源于一個母函數，可將復雜的多維問題轉換為一個一維問題，從而有利于對實際問題的求解和估計。

基于Copula函數的相關性測度

經典的金融分析模型對金融相關性的研究只集中在相關程度的分析上，如建立在正態性或橢圓型的皮爾遜線性相關系數。但它只能描述變量間線性的相關程度，而無法刻畫非線性的相關模式。大量的研究表明僅用相關程度來描述隨機變量間的相關關系是不全面的。而由Copula函數導出的秩相關系數可以對聯合分布的歷史數據進行標準化排序，同時又無需考慮邊緣分布，因而比線性相關性更具優勢，應用性也更廣泛。另外，秩相關性還具有在非線性單調變換下保持不變的性質。采用非參數方法時，肯德爾秩相關系數、斯皮爾曼秩相關系數等還與Copula函數中的參數有一一對應關系，因而更有利于Copula函數的參數估計。在金融風險分析中至關重要的是尾部相關性分析，常用來刻畫當極端情形發生時金融市場間的相關程度，基于Copula函數的相關性度量將邊際分布中包含的相關程度和相關模式的研究結合在一起，可以從程度和模式上把握金融領域中的相關性問題。

在UTC時間2019年5月5日上午6：39，根據最近的750個每分鐘收盤價，仿照文獻的方法，利用MATLABR2019a進行相關計算如下。

1、參數的估計

用核分布估計XBTUSD和ETHUSD收盤價的邊緣分布后，若采用二元正態Copula函數，利用Matlab的Copula相關內置函數，可估計出其中的線性相關系數為0.8368；若采用二元t-Copula函數，可估計出其中的線性相關系數為0.8031，自由度約為1.65。

這里計算線性相關系數和自由度，只是為了得到對應的Copula函數的具體形式，故可得出這里的二元正態Copula函數的分布函數為

二元t-Copula函數的分布函數為

2、繪制此二元正態Copula函數和二元t-Copula函數的密度函數和分布函數圖

繪圖如下：

圖2

圖3

圖4

圖5

根據圖2和圖4可知，與二元正態Copula函數相比，二元t-Copula函數具有更厚的尾部，因此對變量間尾部相關的變化更為敏感，能夠更好地捕捉金融市場間的尾部相關性。

3、秩相關系數的估計

上文估計出了Copula函數中的參數，故能夠調用Copula的相關程序內置函數來估計XBTUSD和ETHUSD每分鐘收盤價的肯德爾和斯皮爾曼秩相關系數，并將結果與上文由原始觀測數據直接計算出的結果進行對比。現列表如下：

表2

由上表可知，按二元t-Copula函數所估計出的肯德爾和斯皮爾曼秩相關系數與按原始觀測數據的計算結果更為接近，這說明了線性相關參數為0.8031，自由度約為1.65的二元t-Copula函數較好地反映了XBTUSD和ETHUSD每分鐘收盤價之間的秩相關性。

三、結論與討論

本文以BitMEX交易所的數字貨幣期貨合約的收盤價數據為基礎，計算了永續合約XBTUSD和ETHUSD的收盤價的各相關系數，并利用Copula函數著重對兩者的肯德爾和斯皮爾曼秩相關系數進行了估計。結果表明，二元t-Copula函數較好地反映了這兩個合約每分鐘收盤價之間的秩相關性。

Copula函數具有許多優良的性質，仿照上文的方法，還能夠利用Copula函數來估計其他合約和XBTUSD永續合約的秩相關系數，為構建量化交易策略提供可靠的依據。

導師評語：

時至今日，數字貨幣領域已從單一的強波動性的比特幣時代步入了指數時代。如何在指數時代中進行卓有成效的資產管理？對相關性的討論無疑是極其重要的內容之一。本文對此做了一些基礎性的工作，富有啟發意義。

參考文獻

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張堯庭.連接函數(copula)技術與金融風險分析.統計研究,2002,(4),48

董耀武.基于copula理論與EVT-SV模型的金融市場VaR測度研究.重慶大學博士學位論文,2011.62

趙婷.Copula理論及其在金融分析上的應用.湖南大學碩士學位論文,2011.6

李強.基于Copula理論和GPD模型的金融市場風險測度研究.重慶大學博士學位論文,2012.75-78

謝中華.MATLAB統計分析與應用：40個案例分析.第二版.北京：北京航空航天大學出版社,2015.236-240

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