AMM:硬核：深入分析 TWAMM 做市商的數學原理_INSTAR

從數學角度論證和解釋 Uniswap 創始人與 Paradigm 研究團隊設計的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 與 Uniswap 創始人 Hayden Adams 一起合作設計了一個全新的做市模型「時間加權做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根據其發表文章介紹，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大額訂單，工作原理是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，在一定時間內使用嵌入式 AMM 平滑地執行這些交易。

關于 TWAMM 的虛擬交易所涉及的數學，Dave White 在文中并沒有多費筆墨，只在最后給出了非常簡單的數學結論，這對于理解 TWAMM 的數學原理非常不利。本文將重點對 TWAMM 的數學原理進行嚴格的論證和解釋，至于 TWAMM 模型詳細的設計原理，可以前往 Paradiagm 官網查看，本文不再做詳述。

歐盟成員國、挪威、列支敦士登推出一個可公開訪問的區塊鏈:金色財經報道，歐盟成員國、挪威、列支敦士登和歐盟委員會推出了一個可公開訪問的區塊鏈。受監管和許可的區塊鏈由歐洲區塊鏈服務基礎設施 (EBSI) 管理。據歐盟委員會 (EC) 管理員Pierre Marro稱，截至去年，它在 23 個國家/地區擁有 45 個節點。[2023/5/9 14:52:33]

假設 TWAMM 執行大額虛擬交易需要 N 個區塊，出售 X 的池子以每區塊 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每個區塊 yrate 的速率出售。因此，在整個期間售出的 X 總量為 xin=Nxrate，售出的 Y 總量為 yin=Nyrate。

同時，我們將此時間段嵌入 AMM 的初始儲備 xreserve 和 yreserve 分別表示為 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。

MicroStrategy第一季度凈收入為4.61億美元:金色財經報道，盡管目前美國和其他地方對加密貨幣的監管存在不確定性，但比特幣在過去一個季度飆升了 70% 以上。這讓 MicroStrategy 本季度實現了盈利。該公司的季度報告顯示其第一季度的凈收入為 4.61 億美元，在撰寫本文時公司股價為 31.79 美元。上個季度的收入也增長了 2.2%，達到 1.21 億美元。[2023/5/3 14:39:34]

按照 TWAMM 的設計，大額訂單是隨著區塊進行交易的，每個區塊出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同時 AMM 會更新 xreserve 和 yreserve 的值，整個過程總共交易 N 次。

值得注意的是，AMM 的每個區塊交易總是遵循恒定乘積做市。

ETHGasStation將于12月12日停止服務:據官方公告，以太坊Gas價格估算應用ETHGasStation將于12月12日停止服務[2022/11/29 21:09:33]

首先，在執行第 n-1 區塊的交易后，我們假設此時 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分別為 xn-1 和 yn-1。

接下來執行第 n 區塊的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分別向 AMM 輸入 xrate 和 yrate，命：

以太坊礦工在8 月份創造7.33 億美元的收入:金色財經消息，據Watcher.Guru發推稱，Ethereum礦工在 2022 年 8 月創造了 7.33 億美元的收入。[2022/9/2 13:03:53]

因為 xrate 和 yrate 非常微小，且區塊的交易 AMM 遵循恒定乘積做市商，我們可以得到，

化簡，

在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我們進一步可以獲得 n 區塊的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，

穩定幣協議Beanstalk將于6月6日啟動籌款活動以挽回黑客攻擊損失:金色財經報道，基于信用的去中心化穩定幣協議Beanstalk周四正式宣布推出籌款活動“TheBarnRaise”，以恢復因治理漏洞而損失的7700萬美元流動性。“TheBarnRaise”將于6月6日美國東部時間下午12點開始，將持續到所有“Fertilizer”代幣（將作為參與證明的BarnRaise代幣）售完為止。作為籌款活動的一部分，Beanstalk還將推出10,000個非同質代幣(NFT)，即TheBarnRaiseNFTCollection，該系列將提供給在協議重新啟動之前至少貢獻1,000USDC的第一批參與者。此前報道，Beanstalk在4月份遭到1.82億美元的閃電貸攻擊。[2022/6/3 3:59:43]

通過觀察，我們發現 xn*yn=xn-1*yn-1，這正好符合 AMM 的循恒定乘積做市的前提要求。

令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，這是一個常數。

先對 xn 求得一般公式，并獲得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。

yn 的分式線性遞歸表達式如下：

首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，則

計算得到，

而，

xin 等于 0，yin 不等于 0 時，討論同上。

若 xin 和 yin 都不等于 0，對于一般的分式線性遞歸，我們可以采用不動點的方法求解。

進一步計算，

TWAMM 的基本假設是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，也即是 N 可以取無窮大，這時候可以獲得 xN 的極限值。

其中，

相似的，

最后，經過簡單的驗證 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然滿足 AMM 的恒定乘積。

至此，我們完成了 TWAMM 的數學原理嚴格的論證和解釋，并得到了與 「時間加權做市商 TWAMM」 一文完全相同的結論。

撰文：luffy

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