CHE:一文了解零知識證明當中的Sum-check Protocol_HECTA幣

原文作者：FoxTechCEO康水躍，FoxTech首席科學家孟鉉濟

隨著比特幣、區塊鏈、智能合約等概念的鋪開，越來越多的人關注到Web3領域的蓬勃發展。而在技術方面，也有許多開發者關注到支撐區塊鏈底層的密碼學協議。在這之中，零知識證明協議以其獨特的特性大放異彩，無論是在實現隱私保護，還是在實現?Layer?2?性能擴容的?zkrollup?項目當中，都發揮著關鍵的作用。

零知識證明是一類算法的統稱，到目前為止，研究者發明了包括?Plonk、Groth?16、zkStark、Virgo、Orion、Foaks?等等在內的許多種協議。不同的協議適用于不同的計算場景，復雜度和效率也各有不同，例如?Foaks?就以線性的證明時間和較小的證明長度為優勢。

上述的每一種協議，協議目標是相同的，就是證明者希望在不向驗證者透露任何關于自己的秘密的信息的情況下讓驗證者相信自己擁有秘密。sum-checkprotocol?是很多協議的組件，最早在當中被提出。很多計算問題可以被轉化成?sum-checkprotocol?能處理的問題，從而生成證明。包括?Foaks?在內的不少協議的底層協議都基于?sum-checkprotocol，在其上進行調整來實現。

SuperRare：下月RarePass空投將于4月4日啟動:3月29日消息，NFT市場Super Rare在推特宣布下個月的RarePass空投將于4月4日啟動，空投NFT將是美國視覺藝術家Sarah Zucker的作品，RarePass持有者錢包將會在空投時間內收到相關作品。[2023/3/29 13:32:29]

在?FoxTech?所采用的?Foaks?證明系統當中，該協議同樣發揮著重要的作用。具體來講，為了實現對于某一操作碼?opcode?正確性的證明，需要先將其轉化為算術電路，之后轉換為矩陣，最終生成多項式，對多項式應用證明系統當中的算法，在最后壓縮證明的部分當中，同樣將證明者和驗證者之間的交互過程轉換為計算某個和式，也就是?sum-checkprotocol?的過程。

圖?1:Sum-checkProtocol?所在環節

Frax Finance近一個月質押ETH數量達3萬枚，躋身第三大以太坊流動性質押協議:2月5日消息，據Dune Analytics數據顯示，Frax Finance目前質押ETH達8.1萬枚，已超越Stakewise躋身第三大以太坊流動性質押協議。據悉，Frax Finance近一個月質押ETH數量超3萬枚，僅次于Lido（18.4萬枚）、RocketPool（4.2萬枚）。[2023/2/5 11:48:19]

1.協議目標

協議的目標非常簡單且容易理解。

假設我們有一個定義在有限域?F?上的?v?元多項式，記作?g。協議的目標是計算和式：

和在?zkRollup?當中考慮的“外包計算”的場景類似，在應用當中，上述式子的計算量會非常大，我們希望將這個式子的計算交給證明者，之后證明者向驗證者證明自己的計算結果是正確的。

以太坊合并一周后供應量已增加超5000ETH:金色財經報道，據ultrasound.money數據顯示，以太坊合并一周后供應量已增加超5000ETH。數據顯示，截至發稿，新增供應量為5027.07ETH。

EthHub聯合創始人AnthonySassano發推文稱：“自從合并以來已經過去了一個多星期，如果以太坊仍然是PoW，那么ETH的供應量將增加約10萬枚，相反，目前ETH的供應量只增加了約5000枚，這意味著ETH凈發行量減少了95%（包括目前非常少的銷毀）。大部分按PoW發行ETH的可能被礦工拋售，因為他們必須支付運營成本，由于運營成本明顯低于PoW，大部分按PoS發行的ETH（稅后）可能會被持有/重新質押，一旦市場再次升溫并且平均gas價格回到15Gwei上方，ETH發行量將是凈負數（即ETH為通縮狀態）。”[2022/9/23 7:15:53]

2.協議假設

灰度比特幣信托負溢價率達32.38%:金色財經報道，根據Tokenview鏈上數據顯示，灰度總持倉量達171.1億美元，主流幣種信托溢價率如下：

BTC，-32.38%；

ETH，-24.27%；

ETC，-64.34%；

LTC，-36.46%；

BCH，-18%。[2022/9/20 7:07:41]

首先，需要明確在這個協議當中驗證者的能力。我們假設驗證者擁有可以計算函數?g?的預言。也就是說，對于驗證者而言，確定某個輸入?r?1,...,?rv?之后，計算?g(r?1,...,?rv)是容易的。但是計算完整的結果?H?是困難的。

事實上，在現實應用當中，預言不會存在，但是可以通過某種手段實現，例如我們可以讓證明者幫助驗證者計算這個值，并用更多的技巧附加正確性的證明。

The Sandbox LAND系列NFT24小時交易額漲幅達30.10%:金色財經報道，據NFTGo.io數據顯示，The Sandbox LAND系列NFT總市值達5.8億美元，在所有NFT項目總市值排名中位列第7；其24小時交易額為189,128.92美元，增幅達30.10%。截止發稿時，該系列NFT當前地板價為1.6ETH，增幅達3.23%。[2022/6/29 1:38:56]

第二點，關于協議的目標，事實上?sum-check?協議可以對于任意的集合?B?計算?bBmg(b)，但是不失一般性的，我們假設?B={?0,?1?}。

如果證明者是誠實的，應當成立?H=g?1(?0)g?1(?1)。驗證者驗證，若通過則選擇隨機數?r?1?發送給證明者。注意到，根據協議的假設，證明者可以完成上述驗證。

我們用?degi(p)來表示多元多項式?p?當中，第?i?個變量的次數。g?1(X?1)的次數為?deg?1(g)，所以我們知道?g?1?可以用?deg?1(g)?1?個域元素表出。

第?j(j>1)輪：

如果證明者是誠實的，應當成立?gj-1(rj-1)=gj(?0)gj(?1)。驗證者驗證，若通過則選擇隨機數?rj?發送給證明者。

第?v?輪：

Completeness:若證明者擁有有效的?Witness，則驗證者會以不低于的概率接受證明；

Soundness：若證明者沒有有效的?Witness，則驗證者會以低于?negl的概率拒絕證明

Succinctness:Proof?的?Size?必須遠小于?Witness?的?Size；

Zero-knowledge：驗證者無法通過證明的交互過程獲取任何關于?witness?的信息

#其中?negl為任意可忽略的函數

Sum-checkProtocol?的應用

在許多的零知識證明算法當中，sum-checkprotocol?都在發揮著重要的作用。許多問題的證明，都依賴于將原始的問題轉化為?sum-check?的形式，再完成后續的步驟。

例如，可以利用?sum-checkprotocol?來計算一個無向圖中的三角形數量。

首先，我們使用鄰接矩陣?A?表示無向圖?G，設?E?為其邊集合，則?Ai,?j=?1(i,?j)E，也就是說若點?i,?j?之間存在一條邊則?Ai,?j=?1?否則為?0?。對于點?i,?j,?k，三點構成三角形的條件是?Ai,?j=?1,?Ai,?k=?1,?Aj,?k=?1?。

接下來記矩陣?A?為一映射表，表示的映射為?f:{?0,?1?}logn{?0,?1?}logn{?0,?1?}，其中?logn?為?i，j?的二進制長度。所以對于點?i,?j,?k，三點構成三角形的條件進一步可以表示為?f(i,?j)f(i,?k)f(j,?k)=?1?。

此外，在許多證明系統當中，都采用了?sum-checkprotocol?作為底層邏輯進行構造。下圖展示了根據在?sum-check?基礎上進行不同改造得到的不同證明系統。

圖?4:Sum-checkprotocol?在四類證明系統當中的應用

圖?5:Sum-checkprotocol?在簡潔證明方面的具體應用

產業界同時給予越來越多的關注。

CarstenLund,LanceFortnow,HowardKarloff,andNoamNisan.Algebraicmethodsforinteractiveproofsystems.J.ACM,39:?859?–?868,October1992.

https://people.cs.georgetown.edu/jthaler/sumcheck.pdf

https://zkproof.org/2020/03/16/sum-checkprotocol/

https://eprint.iacr.org/2021/333.pdf

介紹?sum-check?的中文博客?https://blog.csdn.net/mutourend/article/details/111610754?

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