Bulleproofs算法有兩個方面的應用。
一個是Rangeproof:
第一講:?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof1
第二講:?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof2
第三講:?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof3
另一個是generalarithmeticcircuits,本編文章就來主要分享Bulletproofs在后者上的應用。
ArithmeticCircuits
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了解ZK-SNARK算法應該都知道算術環路的概念,下面一張圖展示了zk-snark算法中,算術環路的設計規則。
Circuit設計規則:
1.由乘法門和加法門組成,每個門固定兩個輸入一個輸出;
2.不標記通過加法門連接乘法門的線,如圖中綠線,僅起到連接作用;
3.同一條線直接或間接連接多個乘法門,僅表示為一條有效的線,為了方便理解,用紫色虛線表示其連接關系;
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4.MulGate處的取值為圖中紅色字體所示
5.黃色線條為有效連接線
6.橙色線條表示MulGate對應的一階約束
那Bulletproofs算法的算術環路的設計規則是什么樣的呢?我們看看下圖。
Circuit設計規則:
1.由乘法門和加法門組成,每個門固定兩個輸入一個輸出;
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2.不標記加法門
3.不標記有常量的乘法門
4.紅色字體表示乘法門的索引
5.黃色字體表示乘法門的輸入和輸出
6.橙色線條表示乘法門對應的一階約束
7.藍色線條表示相鄰乘法門間的一致性約束
因此,一個完整有效的算數電路應該滿足:
1.每個乘法門對應的的約束成立
2.乘法門之間的一致性約束成立
Zk-snark的算術電路通過R1CS滿足了上述兩個條件。
1.每個R1CS表示一個乘法門的約束
2.相鄰乘法門的輸出是下一個乘法門的輸入,如圖中的y,sym_1,sym_2
Bulletproofs的算術環路以通過以下兩種方式滿足上述兩個條件:
1.每個乘法門對應的約束成立
2.上個乘法門的輸出等于下個乘法門的輸入。
看起來兩個算法的證明一個算術電路有效的思想是一樣,但是由于兩個電路的標注規則不同,就產生兩個不同的約束結果。
Zk-snark算法以validwires為基本要素,每個wire有左輸入,右輸入,和輸出三個屬性
Bulletproofs算法以validMulgate為基本要素,每個Mulgate有左輸入,右輸入和輸出三個屬性
最后,附上一張對比圖:
總結以上可以看出,對數算術環路的滿足性問題,不同的算法具有不同的電路描述方式。Zk-snark算法由Circuits轉化到QAP,最終生成的證據僅僅再幾十個字節大小;
Bulletproofs的算法由Circuits轉化到innerproductor,生成的證明的大小和算術電路的乘法門的個數n有關O(log(n*Q),電路越大,證據越大。
附錄
1.Bulletproofs論文:https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
2.BCG+講述了算術電路的另外一種描述形式?https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf
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