COM:ZKSwap團隊深入解讀零知識證明算法之Zk-stark（四）——FRI協議_OMM

前言：終于到了“零知識證明算法值Zk-stark”系列的收尾。在前面的三篇文章里，我們依次介紹了zk-stark算法的整體結構、算法的第一部分：Arithmetization、算法的第二部分：LowDegreeTesting。相信通過這幾篇的閱讀，大家能對zk-stark算法輪廓有了個整體的認知；在閱讀的過程中，你可能會對文章中的某些語句或者圖片的正確性發出疑問，歡迎在社區留言交流。

在第三篇文章，我們已經講到，為了確保證明者返回的滿足多項式等式相等的值確實是基于有效的多項式計算得到，我們需要對多項式進行LDT測試；同時為了使驗證者的復雜度達到最優，我們把原始多項式進行變換，變換后，證明者要證明的多項式僅僅是原始多項式的一半，不斷重復這一過程，一直到多項式的度可以直接判斷為止。這其實就是FRI協議的核心思想，下面，讓我們來詳細介紹FRI協議的過程。

FRI協議

也許，我們應該先說一下FRI協議是什么？FRI，即FastRSIOPP，全稱FastReed-SolomenInteractiveOracleProofsofProximity，是一種更有效的proximiary測試方法，測試一個點的集合大部分是在一個度小于某個值的多項式上，能達到線性級的證明復雜度和對數級的驗證復雜度。在我們正式介紹FRI協議之前，我們先看一個簡單的場景。

英國前財政大臣加入Copper擔任主席，稱Copper以20億美元估值完成新一輪融資:1月26日消息，英國前財政大臣Philip Hammond宣布將加入加密資產托管公司Copper擔任主席。Philip Hammond表示，Copper新一輪融資的大部分資金已經到位，此次籌資預計將使公司估值約為20億美元，他自2021年以來一直擔任該集團的顧問，并持有該公司的少量股份。投資者包括風險投資和私募股權以及巴克萊銀行等戰略投資者。

此外，Philip Hammond警告稱，英國作為數字資產的金融中心正在落后于歐盟競爭對手，英國需要加快步伐，建立更有效的數字資產監管框架。（金融時報）[2023/1/26 11:30:47]

在有限域F上，存在一個乘法群L0，群的階為2^n；這時，證明者聲稱碼字f0:L0-->F是滿足RS編碼參數的一個碼字，即f0的大部分點在一個度d<ρ*2^n的多項式上P(x)上，這里ρ=2^(-R)；因此，當f0=P時，根據IFFT原理，存在P1、P2且deg(P1、P2)<1/2ρ2^n，滿足：

隱私解決方案Railgun推出DeFi隱私錢包RailWay Wallet:9月16日消息，隱私解決方案 Railgun 宣布推出 DeFi 隱私錢包 RailWay Wallet。據報道，該錢包可保護用戶的交易歷史，使其交易記錄無法被 Etherscan 等工具追蹤，從而實現隱私交易。此外，該錢包是首個完全在移動設備上運行的 zkEVM 證明器，兼容 iOS 系統和安卓系統。

此前報道，1 月 27 日，Digital Currency Group（DCG）與 Railgun DAO 達成戰略合作。作為合作的一部分，DCG 已經收購并質押了超過 1000 萬美元的 Railgun 原生 Token RAIL，并向該項目的 DAO 財庫捐贈了超過 700 萬美元的 Stablecoin。（CoinDesk）[2022/9/16 7:01:42]

f0(x)=P(x)=P1(x^2)+x*P2(x^2)(1)

令Q(x,y)=P1(y)+x*P2(y)，可以看出Q(x,y)關于x的度d<2；關于y的度d<1/2ρ2^n；此時，驗證者隨機選取一個值x0發送給證明者，然后令

BNB域名Space ID成交額已突破10,000枚BNB:9月14日消息，據NFT聚合交易市場Element數據顯示，BNB域名Space ID的全鏈市場成交額已突破10,000枚BNB，其中Element自有協議市場成交額約占80%。Space ID現有9810個地址注冊了23,770個域名。

此前，SpaceID于9月2日完成了由Binance Labs領投的種子輪融資。[2022/9/14 13:28:49]

f1(y)=Q(x0,y)=P1(y)+x0*P2(y)(2)

對于f1(y)，y=x^2，由于x取值范圍是群1里的元素，因此x^(2^n)=1==>(x^2)(2^(n-1))=1==>y(2^(n-1))=1。令y的作用域為群L1，則L1有以下屬性：

群的階為2^(n-1);群L1的每個元素對應群L0的兩個元素，即群L1的任意y，群L0都有兩個x和(-x)modF，滿足x^2modF=y&&(-x)^2modF=y；因此，問題就轉化為了證明f1(y)的度d<1/2ρ2^n。同時也要保證函數f1和f0的一致性，流程可分為以下幾個步驟：

數據：中國元宇宙行業已融資7.8億美元:9月6日消息，一份報告指出，目前16000個元宇宙相關商標已在我國注冊，有約500家企業正在從事元宇宙行業。元宇宙行業累計融資已達7.8億美元。該報告預計，到2030年，中國的“元宇宙”的市場價值將達到5.8萬億美元。（investing）[2022/9/6 13:11:42]

驗證者分別從群L1和群L0選取三個點y,s0,s1滿足s0!=s1&&s0^2=s1^2=y證明者返回f0(s0),f0(s1),f1(y)三個值驗證者根據f0(s0),f0(s1)插值出一個關于x的d<2的多項式g(x)驗證者驗證g(s0)=f1(y)，不相等，則失敗

可靠性分析：如果函數f1不是由函數f0轉換而來，那么公式(1)的多項式P1(x^2)和P2(x^2)和公式(2)的多項式P1(y)和P2(y)互不相等。考慮到多項式的度d<1/2ρ2^n，變量的取值范圍為2^(n-1)，那么在這個范圍內隨機選取一個值，多項式相等的概率為1/2ρ2^n/2^(n-1)=ρ。ρ為coderates，如果ρ=2^，那么一次校驗成功的概率僅僅為1/256。如果經過多次驗證，那么作惡成功的概率就無線接近于0。

抖音旗下子公司“虛擬數字人應用平臺”軟件著作權獲得登記批準:金色財經消息，天眼查App顯示，近日，抖音旗下北京火山引擎科技有限公司“虛擬數字人應用平臺”軟件著作權獲得登記批準，當前版本號為V1.0。(金十)[2022/9/2 13:04:33]

以上可知，對函數f1重復上述的過程，直到fr變成一個可以直接校驗的度，就完成了整個測試驗證過程。

下面，我們看一下FRI協議的具體內容，如圖1所示：

FRI協議分為兩個階段：Commit階段和Query階段。從前面簡單的場景可以看出，一次簡單的循環，需要:

驗證者發送隨機數x0后證明者生成新函數f1進行一致性校驗FRI協議把每一循環前2步歸類到Commit階段，把第3步歸類到了Query階段。即在Commit階段，生成所有的函數f0~fr，r為循環的次數，然后在Query階段，統一校驗。

下面，先分別介紹Commit和Query協議里各參數和各個步驟的意義，然后總結一下相關的流程。

Commit：

CommoninputRRS編碼比率i循環次數索引，取值{0~r}r循環次數取值k0-R/ηη空間映射參數x-->x^(2^η)L0群的階2^k0RS編碼參數q0(x)=x^(2^η)，L(i+1)=q0(Li)，表示群Li到群L(i+1)的2^η-->1映射Proverinputfi第i次循環的函數輸入Li第i次循環的群，階位2^(n-i)RSifi對應的編碼參數LOOPi<=r1xi驗證者發送的隨機數2Sy群L(i+1)的每一個元素對應于群Li的元素的集合f(i+1)(y)計算f(i+1)在群L(i+1)上的所有取值3i==r定義fr第2步的輸出插值出P(x)d是多項式P(x)的度保存d+1個多項式P(x)的系數a0~adCommit階段終止4i<r定義f(i+1)按照第2步的計算方式保存f(i+1)的值，在群L(i+1)進入下一步循環Query

verifierinputR/η/Li/RSi/xi/fi/P(x)見Commitlquery次數重構fr獲取a0~ad，重構P`(x)計算P`(x)在群Lr上的所有取值，并賦值給fr，注fr滿足RSrrepeatltimesi={0~r-1}Si滿足s(i+1)=q0(x)的x的集合i={0~r-1}在Si上，插值出Pi(x)roundconsistencychecki={0~r-1}f(i+1)(s(i+1))=Pi(xi)都成功，則驗證通過下面，以η=1為例，FRI協議的兩個階段的過程如圖2所示：

由以上流程可以看出：

針對每一輪的一致性的校驗，確保了原始多項式f0的確滿足d<ρ*2^n上述協議重復l次，可以大大降低作惡者成功的概率總結

以上就是FRI協議的具體過程，可以看出，驗證復雜度滿足對數關系r=Log2(ρ2^n)。算法保證了，當且僅當原始多項式f0是小于ρ2^n時，所有的roundconsistency校驗才會通過。真正的實現可能略有差別，具體的可以參考DEEP-FRI論文，相對于FRI，DEEP-FRI在保持證明和驗證的最優復雜度的同時，提高了系統的可靠性。結合本系列的前三篇的文章，總結ZK-STARK的算法如下：

算法分為兩部分：算術化和LDT算術化把問題轉換位多項式相等以及多項式的LDT問題LDT階段使用FRI協議，保證線性級的證明復雜度和對數級的驗證復雜度零知識屬性保證驗證者不能訪問軌跡多項式里的點，軌跡多項式里保存著隱私值同時為了保證零知識屬性，需要對軌跡多項式附加數行隨機值，由驗證者和證明者協商確定整個過程，不需要第三方的CRS整個過程，不依賴任何數學難題附錄

官方FRI的簡單介紹?https://medium.com/starkware/low-degree-testing-f7614f5172db

FRIpaper?https://eccc.weizmann.ac.il/report/2017/134/

DEEP-FRIpaper?https://arxiv.org/abs/1903.12243https://en.wikipedia.org/wiki/Reed%E2%80%93Solomon_error_correction

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